Я обя́зан тебе́ (свое́й) жи́знью, Грег.

свое́й — instrumental feminine possessive pronoun (the word is redundant here)
жи́знью — feminine instrumental (обязан needs instrumental)
тебе́ — dative pronoun
Грег — nominative masculine (It’s a form of address, not an argument of the verb, so nominative)

Normally, when it’s about money, до́лжен (+ accusative) is the right word for ‘owe’.
I owe you 1000 roubles — Я тебе́ до́лжен ты́сячу рубле́й.
Обязан is an elevated-style word. One won’t say «Я обязан тебе тысячей рублей». On the other hand, one won’t say «Я должен тебе жизнь».