Китайцы заняли(ся) аэропорт близкий к моей стране.
However my translation for your example is "Китайцы заняли аэропорт рядом с моей страной".

1) Китайцы, стране
I think these mistakes are typo.

2) Заняли(ся)
You mixed up two different verbs: занимать (occupy) и заниматься (doing). Yes, they looks very similar.

3) рядом с моей страной
When I read the original (english) sentence I understand it like "The Chinese occupied an airstrip, and it happened near my country". Am I right? If yes, so "near" is adverb and should be translated into russian like "рядом". If you need clarify where this "near" is (near smth), you have to use the construction "рядом с [кем/чем - instrumental case]".

4) аэропорт близкий к
Maybe, I'm wrong, and when you used the word "near" you wished to describe quality of the airstrip. In such case "near" is adjective and its declension links with airstrip (аэропорт in your translation), so it should be masculine.
If you need clarify an object relative to which a distance is small you should use the construction "близкий/близкая/близкое к [кому/чему - dative case]" or "близко к [кому/чему - dative case]".
I can recall only one exception: "близкие люди" ("close" people): family members, loved ones, friends. In this case "близкие" is used like "дорогие" (дорогие люди), without preposition "к".
Examples:
a) Я очень волнуюсь, когда близкие/дорогие мне люди не отвечают на мои телефонные звонки.
b) Алексей и Светлана - близкие/дорогие моему сердцу люди.
However when "близкие люди" is not same "дорогие люди", when it means "people from close surroundings" you should use "люди близкие к".
Example: Люди близкие к мэру (т. е. люди из окружения мэра, а не его друзья), сообщили, что строительство нового стадиона начнётся уже летом.

5) рядом с моей страной/ близкий к моей стране
For educational purposes I used your variant of "страна" in the both translations. However usually when we wish say that something is near our country, we use "граница/границы [страны]" instead.


So, these variants are better:
Китайцы заняли аэропорт рядом с границами моей страны.
Китайцы заняли аэропорт близкий к границам моей страны.

And these are more better
Китайцы заняли аэропорт, расположенный рядом с границами моей страны.
Китайцы заняли аэропорт, расположенный близко к границам моей страны.

6) My dictionary says that "airstrip" means "лётная полоса, взлётно-посадочная полоса, посадочная площадка". Usually "аэропорт" is "airport".