Хоть/хотя я и говорю хорошо по-русски, но я не русский а чех.
In principle, но can be omitted.

In "normal" language in constructs like "не русский а чех", "не грибы а ягоды", "не ого-го, а ключи от храма"
- you should utilize only "а".

да, так etc we are leaving for poets. Proverbs use them extensively, but those proverbs now seem ... a bit old-fashioned.

The same applies to "Пусть и"
Хотя я и готовился к этому экзамену, но не сдал.