аспирантура - a study after graduating a university with a final purpose to obtain a Ph.D. degree. Usually it goes in parallel with research activity. Ideally when you one graduate аспирантура, one should immediately proceed with the obtaining Ph.D. (or any other "D.") degree. But in fact most people need more time after that to complete the research and proceed with the bureaucracy.

Я достаточно смутно представляю себе, как это происходит в США.

BTW аналогом западного Ph.D. в странах бывшего СССР считается "кандидат наук". Квалификационный уровень кандидата наук подразумевает способность самостоятельно вести научные исследования. "Доктор наук" - следующее академическое звание, оно подразумевает наличие существенного вклада в науку.

См.