показывать is just "to show" or "to demonstrate"
"предъявлять" is a formal action with legal official consequences.

Lingvo says:

1) (показывать) show () , produce ()
предъявлять билеты — show / produce tickets
предъявлять документы — show one's documents
предъявлять доказательства — show / present proofs; produce evidence

2) (выдвигать) put forth ()
предъявлять право (на ) — raise a claim (to)
предъявлять иск (к) — bring a suit (against)
предъявлять обвинение (в ) — bring an accusation (against of), charge (with)
предъявлять кому-л обвинение в убийстве — bring an accusation of murder against smb, charge smb with murder предъявлять требование (к) — lay claim (to)
предъявлять высокие требования (к) — make great / high demands (of); demand much (of)