запомнить (perfective) = to memorize, it's a moment when you place something specific in your memory or you already did it in the past.
Я запомню то, что ты сказал. Я запомнил её лицо.
Policeman: Вы запомнили, как выглядел грабитель?
You: Нет, но я запомнил номер его машины.
Usually, it's an active process. You make some efforts to remember, you accent this action.
You: Запомните, клиенты из России - самые важные клиенты для нас!
Your staff: Хорошо, мы запомнили!

помнить (imperfective) = to remember, when you have the information in your memory constantly.
Я буду помнить о своем погибшем друге. (the future tense adds some expression here, it's kinda 'I will never forget', so don't use it in ordinary speech coz it sounds a bit pompous)
Я помню номер её телефона.
Раньше я помнил лица всех одноклассников (classmates), но сейчас стал забывать (started forgetting).

вспоминать (imperfective) = to remember, to recall, it's a process of getting the information out of your memory.
Я вспоминаю её часто.
Я буду вспоминать о ней каждый день.
Я вспоминал о ней каждую минуту.

вспомнить (perfective) = to remember, to recall, to recollect, it's a moment when you get something specific out of your memory.
Я вспомнил, как её зовут!
Я надеюсь, что на экзамене я вспомню то, что я учил.
"Вспомнить всё" = "Total Recall" (the movie, a Russian version of the name)
Policeman: Вспомните, куртка какого цвета была на грабителе?
You: Мне тяжело сейчас вспоминать (imperf.), потому что он ударил меня по голове.

поминать/помянуть are uncommon verbs. Their meanings were explained above.