Search:

Вы хотите, чтобы я купил что-нибуДь для него? (correct )
----
Купите ему что-нибуДь ко дню рождения. (Correct)
----

Вы были кем-нИбуДь заняты?

( this sentence sounds somewhat ambiguous....

Correct, Zorro!

After "у меня нет/ не было/ не будет" denoting the absence/lack of something, GENITIVE is required:

У МЕНЯ НЕТ + GENITIVE, e.g.

- У меня нет сестры / жены / работы / подруги...

In both cases Imperfective should be used:

- Кто БУДЕТ УБИРАТЬ на этом этаже?
(you were right to pick up the Imperfective here, as the focus is not on the beginning or the completion/result of...

Precisely so!

- Почему здесь ЕЩЕ НЕ УБИРАЛИ ? (Imperfective)
(Imperfective in negative sentences communicates that the action had not yet happened.
Here the Imperfective may also mean...

You are always welcome. Всегда пожалуйста!

You are quite right!

- Можно ЗАДАТЬ (perfective) еще несколько вопросОВ?

( the student here intends to ask his questions at one time, e.g....

Sorry, it should be "преступник НЕ избегнет наказания."

It is because in English you can use the infinitive after "to avoid".

However, in Russian, the verb "избегать" can be followed:

(1) either by the Genitive of nouns or pronouns, e.g.:
- ...

It should be the imperfective form: "даже если они долго БУДУТ ИСКАТЬ, Вадима они не найдут".

Why "БУДУТ ИСКАТЬ"?
(1) The process of searching for Vadim will be ONGOING and, probably REPEATED: ...