У меня (срочная) потребность во сне.?
Очень близко. Но смысл ты уловил верно.Твое предложение, Seraph, найдешь только в книге. А catch up имеет здесь, кажется, разговорный оттенок.


Almost. The sense is accurate, but the phrase sounds bookish. Catch up has rather an informal sense here as far as I know. My translation - мне надо отоспаться. Отоспаться is colloqial. A neutral synonyn is выспаться.
I think that "I got papers to fill" - Я получил документы для заполнения.
The correct translation of the second phrase I don't know
got здесь сокращенно от have got, а have got to = have to, то есть когда речь идет об объективной необходимости. Кое о чем Valda сказала раньше.
То предложение надо перевести. Мне надо заполнить бумаги.