Что касается меня, эти предложения звучат естественно. Если бы вы знали контекст, то я уверен, что вам было бы вполне понятно, что имел в виду автор.

Я думаю, что допустимо сказать "on job". Это относится к выражению "on-job training". Так предложение звучит более разговорно, хотя несмотря на это, лучше сказать "оn the job".

Это просто дело стиля.