Мыло = e-mail.
Не во всех случаях это так.

Скорее "Мыло" это электронный почтовый ящик, при этом он определённый. Т.е. множественное число звучит очень "криво".
Так как мы отвечаем не на "ящик", на сообщения, то использовать этот жаргонизм нельзя.

Остаётся:
На прошлой неделе я сильно заболел и поэтому перестал отвечать на [электронные] письма.
или (если хочется пример с мылом)
На прошлой неделе я сильно заболел, и мне было не до мыла.