За is actually the most polysemic russian prefix. Here are the most salient meanings:

1. Local values
a) Some move takes something behind something (за что)
Заложить руку за спину
Забежать (зайти, залететь...) за дерево. Ipf: забегАть, заходить. Do not confuse with the perfective забЕгать, заходить with ingressive meaning.
Засадить за работу.
b) за границу; туда, куда не следует (слишком далеко)
Заехать в трясину
Заехать в чужой карман
Я забросил мяч в сад
Пакет по ошибке заслали в Сибирь
Жажда мести завлекла его слишком далеко...
c) по пути (with determinate verbs)
Зайти, забежать куда-нибудь.
Зайти в магазин, к другу.
Она завела детей в школу, а сама отправилась на работу.

2. To cover, to close
a) Закрыть, затворить, запереть
Заклеить письмо
Залепить дыру в стене
Трубку забило песком
Закидать яму песком
In case you can undo most often you use от or раз
Открыть, отворить, отпереть
Расклеить афишу...

b) Сад зарос крапивой
Слёзы затуманили глаза
Река залила луга...

Also when you make something dirty: засалить, замарать, замазать, запачкать. This is again the same meaning, you are covering something with something else.
Also: запить лекарство водой, заесть таблетку хлебом...

3. Очень много, слишком
Завешать все стены картинамы (note: что чем)
Закормить кого = излишним кормлением причинить вред

До конца, до смерти, до изношения: заносить пальто, заездить лошадь, запороть кого, затравить зверя

за-ся: заболтаться, заговориться, заесться. This is very productive.

4. Ingressive meaning. Начать делать что-нибудь
Закричать = начать кричать
Застучать, запеть,
Заходить, забегать, залетать... with indeterminate only. With determinate you use по : пойти, побежать...


5. закрепить
Завинтить, застегнуть,
Заколоть волосы шпильками

Abstract meaning: fix in memory. Запомнить, заучить.

6. заранее
Заготовить, закупить, засолить грибы...

7. получить что-л. в результат действия
Завоевать страну, заработать, захватить