"На мне" используется для состояний, не для процессов.

Он переложил на меня все заботы по содержанию собаки, и теперь на мне и прогулки, и кормёжка, и стрижка.

Анекдот по теме:
- Сэр, на вам муха сидит!
- Не на вам, а на вас!
- На мнюююю?
- Не на мню, а на мне.
- Ну так я и говорю: на вам муха сидит.