1. захватывающее представление/шоу, захватывающий приключенческий рассказ (-ая приключенческая история), захватывающая возможность (closer to "amazing feature"), благоприятная возможность (closer to "good chance"), волнующее/захватывающее открытие.

2. Я имею склонность к математике. У меня склонность к математике. (it implies that you like it and you have progress in it)
У меня математические способности. У меня способности к математике. (this one implies you just have some natural ability, you could develop these capabilities or couldn't; though usually it means you have skills)

3. Я брал частные уроки рисования (изобразительного искусства) с самого раннего возраста. Эта тема увлекала/захватила/пленила меня с самого раннего возраста. Этот предмет увлекал/захватил/пленил меня с самого раннего возраста. ("тема" is more for a general subject, "предмет" usually is something belongs to school lessons, like physics etc, or a thing)
The difference:
Я люблю физику. Этот предмет увлекал меня с самого раннего возраста.
В моей семье всегда много говорили о Древней Греции. Эта тема увлекала меня с самого раннего возраста.
(for the most of such contexts you should use "увлекать", though there are a few ways to say the same)

4. Я хочу расширить кругозор. Я хочу раздвинуть горизонты. (the last one sounds very pompous, not for everyday situations; like you are a great scientist or politician, and all; or maybe you're going to make a fundamental transformation of your life; use the first example for the ordinary contexts)