Из Розенталя:
№ 164. Сочетания числительных с существительными.

1. Имеются вариантные формы творительного падежа простых и сложных числительных и сочетаний с ними:
....
г) тысячей - тысячью; сравните: расходы исчисляются не одной тысячей рублей (слово тысяча с предшествующим числительным одна рассматривается как счётное существительное и управляет родительным падежом следующего слова) - приехал сюда с тысячью рублями (в качестве числительного слово тысяча обычно согласуется с последующим существительным); возможна также связь управления при форме тысячью, например: тысячью дорогих безделушек (Мамин-Сибиряк); тысячью огненных голов (Андерсен); тысячью мелких уколов (Короленко); "Человек с тысячью лиц" (название кинофильма).
...