Screen text: Помехи? - I would better say "проблемы" or "трудности". "Помехи" is usually used when something external annoys you.

(Да. Не могу произносить букву "ы" все еще!) -> Да, я всё ещё не могу произносить звук "ы". (Try not putting time modifiers like "всё ещё" to the very end of the sentence, it sounds foreign in most of cases)
Note: people do say "произносить букву". But that is linguistically inaccurate. You do not pronounce a letter, you pronounce a sound. A letter is what you see or what you write. You can say, for example, "Я всё ещё не могу правильно писать букву "ы"" (if you had problems with writing it).

(Я звучу как дурак когда я стараюсь.) -> It sounds rather rude with respect to yourself. I would not advise using such strong expressions. I would suggest: "Когда я стараюсь, я звучу смешно".
Я слышала все советы, что надо растягивать губы, тянуть язык назад (a single word, adverb: backwards) (no comma) и стараться произносить "и". Таким образом получаем "ы", но у меня не получается! (someone manages doing something: "у someone (Genitive) получается something").
особенно когда я говорю ("скажу" is Future, "говорю" is Present) "мы" или "ты". Послушайте (you suggest doing it one time - Perfective): мы мы мы мы мы мы ты ты ты ты


Screen text: И наконец (And finally)
В Израиле у нас сейчас ("теперь" involves contrasting of the current moment to something in the past) праздник, Rosh Hashana, согласно ("согласно" is an unchangeable preposition, "in accordance to") еврейскому (adjectives are never capitalized: русский, американский, еврейский) календарю (согласно чему? - Dative), это наш новый год (BTW, you can capitalize "Новый Год" as a holiday name). Итак (= "thus"), я хочу пожелать (1-time action: Perfective) всем (пожелать кому? - Dative) счастливого (1. "happy" is "счастливый", "счастный" does not exist in Russian; 2. пожелать кому? -Dative чего? - Genitive: Я желаю тебе здоровья) РОШ ХАШАНА! (Is it Rosh Hashana or Rosh Nashana?)
Спасибо за внимание, и до встречи!

I would like to give you some general advice, if you would not mind:
1. Please remember: русский, американский, еврейский, китайский... are adjectives.
по-русски, по-американски, по-еврейски, по-китайски are adverbs. No "й"! It is a very typical mistake foreigners do.
I am writing this because I've seen it several times in your texts.
2. When constructing Russian sentences, try not to stick to the fixed English word order. If something is the main logical part (new information you want to conduct) - put it to the end, if something is background information - put it to the beginning. Most often, I see you putting the time modifiers (like "всё ещё") or some supplementary information (like "с друзьями") to the end of the phrase. That's not how we arrange it.