People often say: "Поздравляю с именинником / именинницей!" in such cases, which is wrong, nevertheless it's widely used.
"Слово именинник многие часто употребляют к виновнику торжества в день его рождения. На самом деле, именинник — не тот, у кого день рождения, а тот, у кого именины, что не одно и то же." (Wiki)
Still, even Wiki says in the next paragraphs: "На день рождения ребёнка, особенно в детских садах, гости (дети и воспитательница) устраивают хоровод вокруг именинника и поют песню..."
"Именины" is "name day", not "birthday".
Именины — Википедия
Name day - Wikipedia, the free encyclopedia