Отец: Какова твоя мечта? -Ok but sounds a bit bookish. I would say О чём ты мечтаешь? What are you dreaming about?
Дочь: Моя мечта - богатая, здоровая, и счастливая. - You've missed "to be" - быть. Моя мечта - быть богатой, здоровой, счастливой.
Отец: Почему ты хочешь быть богатую? - See above - быть богатой = to be wealthy.
Если ты здорова(я) и счастлива(я), ты не нужно быть богатую. You can use a short form of adjectives here; тебе не нужно быть богатой - to you(тебе) no need (не нужно) to be wealthy (быть богатой).