1. Я застегнул рубашку. Я застегнул пуговицы на рубашке. - both are fine. You can also just say Я застегнул пуговицы. As for зашнуровать шнурки, this is incorrect and doesn't make sense (can you say lace the laces in English, by the way?)

2. У меня две зимних куртки. Красная застёгивается на молнии, а чёрная -- на пуговицах. - this is fine, but it's better to say Красная -- на молнии, красная куртка на молнии, or Красная застёгивается на молнию. But very often the word застёгивается is not used, it's just куртка на молнии, куртка на пуговицах.

3. У неё туфля расшнуровалась or У неё туфля расшнурована - this is OK grammatically and both make sense, but sound a bit formal, people just say - У неё шнурки развязались, or У неё шнурок развязался.
У Вас штаны расстегнулись, У Вас молния расстёгнута, У вас штаны расстегнуты, У вас молния расстегнулась - all are fine.

4. Velcro = липучка, or seldom застёжка. e.g., Туфли на липучках (Velcro shoes), кроссовки на липучках (Velcro sneakers, Velcro running shoes), куртка на липучках. By the way, you can find Velcro in wikipedia in English, then click on the Russian and get the Russian equivalent, in 99% cases it works.

5. XYZ, PDQ! - the one similar to that in Russian that I remember might be "Ворота закрой!" or "Ворота прикрой!" - Close your gates! (but it's not very polite)