Например, когда он просит меня попить, я говорю, чтобы он сказал мне по-русски, а он начинает сердиться и говорит, что не знает русского.
А где же "образец"? Вначале надо много раз повторить образец в одной и той же ситуации перед тем, как побуждать говорить. То есть, когда сын просит пить по-итальянски, присядьте рядом с ним (контакт "глаза в глаза"), улыбнитесь и скажите по-русски отчетливо (помните, для него это не родной язык, ему трудно) "Я хочу пить", можно повторить несколько раз, попробуйте при этом прикладывать его руку к его груди, чтобы было понятно, что это он должен говорить. Раз он сердится, не просите пока повторять, повторяйте сами много раз. К тому же в этом возрасте (около 3 лет) дети часто бывают упрямы, не настаивайте сильно, это пройдет. Просто русский у него пока в пассиве, он понимает, но еще не может сказать сам. Побольше русских мультиков и книг. (У меня ребенок лет до трех смотрел мультики только на английском, от этого он конечно не заговорил, но во-первых у него произношение хорошее, во-вторых - мотивация - применение английскому языку). Например, на русском мне очень нравится серия мультиков о паровозиках "Томас и его друзья", они вообще-то английские (культура, конечно, не русская, но важно же, чтобы было интересно, у моего сына, к сожалению, советские мультики не пошли, ему было скучно, там смысл и юмор понятны детям постарше, как мне кажется) , но очень хорошо озвучены на русском, да и тематика очень близка мальчикам
Терпения вам и еще раз удачи!