Lafontaine und Gysi liefern sich (wo? auf offener Bühne - Dativ!) (was? ein furioses Duell - Akkusativ).

Der Ausdruck lautet "sich ein Duell liefern", das bedeutet das gleiche wie "sich duellieren". Die Ortsangabe ist nicht Teil des Ausdrucks. Man kann sich auch einen Schlagabtausch liefern, das bedeutet ebenfalls das gleiche.