What's the best way to ask "Does it work in translation?" -- maybe Как получится в русском переводе?
=>Yes, that sounds fine.

Двухязычный анекдот
=> Двуязычный анекдот

Элитная команда российских врачей и учёных участвует в международной конференции в университете "КальТех", по новейшему иследованию
=>I think по новейшим исследованиям sounds better

в сферах микро-хирургии и био-электроничных
=> в области микрохирургии биоэлектронных

связей. В показе последней техники, ученые у КальТеха работают вместе с добровольцем-ампутанта:
=> ампутантом or с добровольцем - солдатом с ампутированной правой рукой (because the word ампутант does not sound natural in Russian)

американский солдат-пехотник
=> пехотинец or морпех because your English version mentions a Marine and not an Infantryman

с которого
=> у которого

правую руку до плеча сорвала бомба
=> оторвал взрыв бомбы

в Афганистане. Хирурги приставили
=> приделали

к нему роботичную
=> роботизированную or I think a better way would be механическую

руку, будто как у Люка Скайвалкера
=> как у Люка Скайвокера or better как у Вилла Смита в фильме iRobot, because Luke had only his wrist cut off with a light saber.

и мужик показывает всем, как он сумел управлять движение
=> научился управлять движением

механической руки. Жжжжжж-вввввв-зззззз, робо-рука берет яблоко и бросит
=> бросает

одному русскому врачу
=> одному из русских врачей

-- тот ловит его и бросит обратно пехотнику.
=> бросает обратно морпеху

Вввввв-щщщщ-жжжжжж, он старается ловить, а не успел, яблоко падает на пол.
=> он пытается поймать, но не успевает и яблоко падает на пол.

При чем
=> При этом

солдат широко улыбается и в шутке показывает "фигу" робо-кулаком.
=> Фигу or his middle finger? Those are two rather different gestures.

Разумеется, новая техника производит отличное
=> прекрасное even though отличное is ok too

впечатление на всю русскую команду, и одна из них
=> врачей

(женщина-красавица)
=> not sure what's wrong with it, maybe other members of this forum would say better, but I think at least it should be красивая женщина

говорит своим сотрудникам по-русски: "Ну, как?!"

И пехотник
=> морпех

краснеет и отвечает по-английски: "No, ma'am -- THAT'S the same old one I've always had!"