ссориться - quarrel; fall out; altercate

спорить -
1) (о , против; возражать кому-л) argue (about, against), dispute (about, against), have an argument (about, against); (с ) argue (with), dispute (with)
2) (дискутировать) debate, discuss
3) dispute () спорить о наследстве — dispute a legacy
4) (на ; заключать пари) bet () спорить на сто рублей — bet a hundred roubles
5) (с ; вступать в состязание) contend (with)

Basically ссориться с кем-то means to get into/to proceed with bad relations with someone.
Спорить (1) о чём-то - to discuss something from the different positions.