Последние несколько дней, я был на занятии/ях, поэтому я не смог написать ничего.>>
Почему "на занятии"? Если я написал "У меня было работа" это правильно?
ты написал: "я был занятие". I was an exersize. Насколько я понял - ты был на занятиях (занятия = lessons, classes)
I was busy = Я был занят.
У меня была работа = I was employed, (now I'm not)
У меня было много работы = I had a lot of work.

Ты также вычеркнул "что-нибудь" и написал "ничего". Почему?
Потому что в таких случаях мы используем double negative (в отрицательных предложениях).
Я не сделал ничего из того, что ты просил.
Я ничего не купил.
Я ничего не смог сделать.
У тебя есть что-нибудь из Битлз? Нет, у меня нет ничего из Битлз.

Я встречаюсь с ней каждую неделю >> Почему ты ?использовал винительны падеж ?
Потому что мы так говорим.
Я встречаюсь с ней каждую неделю, каждый год, каждую среду, каждый понедельник, каждый месяц, каждый раз, когда её муж уезжает в командировку...

Они мечтают о новых, быстрых машинах из(from) Италии. >>
In this sentence I wanted to say "I dream about new, fast cars of Italy.
Cars of Italy = Italian cars, right?
This kind of "of-usage" is suitable only in titles or stuff like this.
Usually we say "итальянская машина", "мечтаю о новых быстрых итальянских машинах"
Also you can say it like I did.

о своей(his?) >> Yes his.
Молодежь in Russia is a collective noun, young people. You can't call his own kids "молодежь", well, technically you can do it ironically, but usually молодежь will refer to other young people as well, not only his kids.
Why his own kids? Because you said "своей молодежи" referring to "his young people". Only a king can think of "своей молодежи" implying that he's thinking of the young people in his kingdom.