Zubr,
По-моему, "забыть кого" и "забыть о ком" имеют одно и тоже значение. Забудь его. = Забудь о нём.

Мне кажется, "забыть кого-то/что-то" используется, когда нужно забыть "предмет" в широком смысле этого слова, например: "слово", "песня", "дорога", "название чего-то" и т.д. Т.е. слова со значением существительного.
Забудь мой номер телефона и больше никогда не звони мне! (номер - сущ.)
Я забыл твоё имя. (имя - сущ.)
Он забыл свой пароль к почте. (пароль - сущ.)

А "забыть о чём-то" используется, когда нужно забыть "событие/происшествие", т.е. когда есть глагол.
Я забыл о том, что мы договорились встртиться. (мы договорились встртиться - событие)
Забудь о том, что я тебе вчера говорил. (я тебе вчера говорил - событие)
Забудь о том, что ты здесь видел. (ты здесь видел - событие)

Но иногда возможны оба варианта! Например:
Зубдь наш уговор. = Забудь о нашем уговоре.
Забудь о том, что ты здесь видел. = Забудь, что ты здесь видел.
Забудь о том, что я тебе вчера говорил. = Забудь, что я тебе вчера говорил.

А также есть исключения! Например:
Не забудь закрыть за собой дверь. Нельзя сказать "Не забудь о закрыть за собой дверь".