Управление - грамматический термин, обозначает зависимость одной формы слова от другой, если не ошибаюсь(лет 10 назад в школе проходил это), например "красивый плащ" - "красивого плаща", хотя может быть и не корректный пример, ну суть примерно такова. На ум по данной теме приходит единственное - в повелительном наклонении "Забудь" без "о" хорошо подходит к личным отношениям. "Забудь меня" - бывшая девушка так может сказать. "Забудь обо мне" - абсолютно равнозначно. Однако "Забудь о деньгах" обозначает "денег ты не получишь", "не думай о деньгах", "деньги не главное" и т.п. Без предлога по отношению к неодушевленным предметам может иметь специфическое значение, например
-"Я хочу с соседкой по парте заговорить, но стесняюсь"
-"А ты забудь ручку и спроси(здесь в значении "попроси") у неё".

или

-"Завтра пойдем в магазин, жена опять будет требовать шубу"
-"А ты забудь деньги дома".

Кроме повелительного наклонения существенной разницы нет, однако "забыл" без предлога часто используется в значении забыл взять/сделать, в таком случае предлог "о" не нужен.
Я забыл погладить бельё - правильно
Я забыл о глажке белья - формально правильно, но усложнение конструкции предлогом лексически необосновано.

Ох расписался я Конечно лучший вариант - жить в России и прививать чувство языка, ну как мне кажется, если есть сомнения что выбрать, то когда акцентируется факт того что забыл - ставится "о", когда факт что что-то не сделал потому что забыл - ничего не ставится.