Предками спартанцев были: (пришедшие с севера Балканского полуострова) греческие племена.
The bold part functions as an adjective, it just provides information. Now there is not any confusion.
The bold part in brackets is called "причастный оборот". It always describes a quality, wich could be described by verb.
Предками спартанцев были греческие племена, пришедшие (причастие) с севера Балканского полуострова. = Предками спартанцев были греческие племена, которые пришли (глагол) с севера Балканского полуострова.

Note that "причастный оборот", like adjective in Russian, could be placed before or after a noun whose quality this "причастный оборот" describes. In second case it always are enclosed in commas.


Example
Прометей, который сочувствовал людям, принёс на землю огонь.

Let's use a participle for green quality now.
а) Сочувствовавший людям Прометей принёс огонь на землю.
б) Прометей, сочувствовавший людям, (two commas) принёс огонь на землю.
в) Огонь на землю принёс Прометей, сочувствовавший людям. (one comma, because the second is "eaten" by period)

Inasmuch as "причастный оборот" always describes a quality, you may remove it from a sentence, at that a sense of this sentence doesn't change. Let's look at our two sentnces without participle:
1) Предками спартанцев были пришедшие с севера Балканского полуострова греческие племена -> Предками спартанцев были греческие племена.
2) Прометей, сочувствовавший людям, принёс огонь на землю. -> Прометей принёс огонь на землю.