Если мы говорим с негативным оттенком, то:
Домогаться ... - более или менее официально;
Приставать к ..., бегать за ... - обычный разговорный вариант;
Клеиться к ... - сленг, но не грубо.
А еще огромная куча всякого сленга вроде "пританцовывать за ...", "чесать за...", "улепетывать за...", "пикапить ..." и т.д. и т.п. Здесь может быть много разных глаголов, которые если будут сказаны по ситуации, то будут поняты собеседником без проблем Также здесь может быть большое количество матерных выражений, которые я приводить не буду . Ни к чему вам глубины русского мата изучать
Если с позитивным оттенком, то:
Ухаживать за ..., поглядывать на..., интересоваться кем-либо и т.д. и т.п. Опять же разнообразие огромное
P.S. Кстати, "to hit on" можно и вполне дословно перевести: "ударять за кем-либо", "приударять за кем-либо". Выражения тоже очень даже ходовые. Будут относиться туда же, где и "клеиться к кому-либо", то есть это сленг, но не грубый.