Originally Posted by
Paul G. = Когда они пришлют своё предложение (свои предложения), мы внимательно рассмотрим его (их).
проверять is closer to "to check" or "to inspect", when you wait that something can be wrong/broken etc
экзаменовать implies an exam: Профессор строго экзаменует студентов.
рассматривать means "to consider" or "to examine", all depend on context, but as a rule it refers to a problem/question/offer/deal/case etc: Мы рассмотрели этот вопрос. Нам нужно рассмотреть это обращение. Мы рассмотрим этот случай завтра.
осматривать is closer to "to view", "to look around" or "to inspect", it implies that you need to take a look.
исследовать usually means "to research" (related to science) or "to examine" for everyday situations: Полицейские тщательно исследовали комнаты в доме убитого (sounds like a phrase from a detective story).
= Я проделал небольшое исследование, чтобы найти новый дом, соответствующий требованиям, которые Вы установили/задали/определили.
Я проделал некоторую работу, чтобы ... (if you would like to charge your client)
Я навёл кое-какие справки, чтобы ... (implies that you've got some information)