Слова эти все близки по смыслу. Очень близки. Единственное что могу сказать:

угрюмый - атрибут только живого существа, неодушевленные предметы очень плохо сочетаются с этим словом, поэтому вы вряд ли когда-либо услышите что-нибудь вроде: угрюмый день
Я бы к примеру перевел бы такое словосочетание как grumpy cat как угрюмый кот

мрачный - отлично сочетается и с одушевленными и неодушевленными предметами: мрачный день, мрачный человек - оба варианта хороши. Единственное что это слово иногда имеет свой собственный оттенок смысла так как происходит от слова мрак (darkness, gloom). Поэтому тот же мрачный день может быть понят по разному: 1) a dark day 2) a day that doesn't give you any good feelings but bad ones

хмурый - (от слова хмурится - to frown ) тоже сочетается только с одушевленными предметами - хмурый человек. Но тут есть одно но, если словом хмурый вы имеете ввиду состояние погоды, тогда вы можете совершенно спокойно использовать это слово с неодушевленным предметом - хмурый день, хмурая осень и т.д. В последнем случае это прилагательное значит cloudy, murky

Надеюсь тебе это хоть чем-нибудь поможет