Грозить и угрожать могут означать одно и то же:

- предупреждать о чем-либо плохом/обещать что-то плохое
Он грозит нам неприятностями.
Он угрожает нам неприятностями.

День грозит быть хмурым.
День угрожает быть хмурым.

Кроме того, слово грозить может означать:
- делать угрожающий жест (потрясти пальцем или еще чем-то) без намерения нанести вред
Старик грозил палкой/пальцем/тапком расшумевшимся детям.

- обещать сделать что-то хорошее
Он грозился привезти нам в следующий раз подарок.

Слово "угрожать" имеет значение
- обещать применить вещь с целью нанесения вреда
Вор угрожал кассиру пистолетом.

В целом у слова "угрожать" более сильное значение, оно обычно подразумевает нанесения вреда. У слова "грозить" более мягкое значение, оно или означает возможное нанесение вреда (которого можно избежать), либо вообще не подразумевает нанесение вреда.