Вот что говорит этимологически словарь русского языка по поводу слова "достигать":
ДОСТИГАТЬ. Заимств. из ст.-сл. яз. Преф. производное от стигати, суф. образования от той же основы, что и стезя, стежка, греч. steichō "иду, поднимаюсь", нем. steigen "подниматься, ступать" и т. д. Исходно — "догонять, преследовать".

Слово "добиваться" происходит от той же основы, что и слова "бить", "битва". Таким образом "добиваться" - значит бороться, сражаться для достижения результата.

Кстати, мы не говорим "достигнул", "достигнула", мы говорим "достиг", "достигла"