The English verb "to hunt" has more meanings.

1. The lion hunts the deer. = Лев охотится на лань. (Mind that in Russian you have to use "на" or "за" prepositions with the verb).
2. You should hunt your dreams. = Вам следует гнаться за мечтами. Вы должны гнаться за своими мечтами. (It's close to "to pursue")
3. He always hunts girls in the beach. = Он всегда охотится за девушками на пляже. На пляже он всегда охотится на девушек. (I'll explain the difference below)
4. He hunts opportunities. = Он охотится за благоприятными возможностями (удобными случаями). Он гонится за перспективами.

Other instances:
Лев охотится на лань, а охотник охотится на льва.
Маньяк охотится на людей.
Фотограф охотится за известными актерами.
Я охотился за этим кольцом целый год.

"Охотится на" usually implies that smbd's victim must be killed and eaten. )
"Охотиться за", as a rule, means that someone just strongly wants to get something. So they search it, run about and so on. It's like "to hunt", but in figurative sense.
If you use "на" instead of "за", it implies that you want to add some expression in your sentence.