1. "я буду работать _________ для русского факультета" - если вы являтесь сотрудником русского факультета, то следует использовать предлог "на" с предложным падежом: "я буду работать _________ на русском факультете". Предлог "для" понимается так, что сами вы не относите себя к русскому факультету, а просто выполняете некоторую работу "для него" (for its benefit). Вообще, "для" звучит в данном контексте необычно.

2. поддерживать и облегчать общение (винительный падеж, прямое дополнение), кроме того, "поддерживать" - несовершенный вид, "облегчить" - совершенный, вместе они сочетаются плохо. Я бы заменил "облегчить" на "облегчать".

3. "Как Вам известно, отчеты должны быть на русском языке, и, пожалуйста, присылайте их мне к 17 (5) часам по пятницам." - просто добавил запятые, где нужно.

4. "Пишите, пожалуйтса, краткий абзац":
- пожалуйста (опечатка);
- Если "пишите" (iterative action), то лучше сказать так: "пишите, пожалуйста, по одному краткому абзацу" (distributive, подразумевается: "каждый раз по одному абзацу"). Или можно употребить совершенный вид: "напишите, пожалуйста, краткий абзац" (single one-time action) - мне кажется, он тоже подойдёт.

5. "о чем Вы с Вашим репетитором обсуждали на прошедшей неделе" -> "что Вы с Вашим репетитором обсуждали на прошедшей неделе". Обсуждать что? Говорить о чём? Писать о чём? Можно сказать: Напишите, что вы обсуждали. или Напишите о том, что вы обсуждали (последний вариант лучше).

В итоге я бы сказал так: Пишите, пожалуйста, по одному краткому абзацу (допустим, 2-3 предложения) о том, что Вы с Вашим репетитором обсуждали на прошедшей неделе.

6. желаю Вас -> желаю Вам. желать кому? (Dative) что? (Accusative)