Google a little. Opinions are different )

1) "дощ" - это старомосковская норма. как и произносить "шн", когда пишется "чн", например.

2) Фасмре пишет, что это по-украински:
дождь,
Ближайшая этимология: род. п. -дяґ, прилаг. дождевоґй, укр. дощ, др.-русск. дъжгь (новгор., псковск.). Из *дъжджь, ст.-слав. дъждь Фmbroj, ШetТj, болг. дъждъґт, сербохорв. да?жд, род. п. да°жда, словен. dЌ°јdј, др.-чеш. de«‰, чеш. de«t', слвц. daјd', польск. deszcz, в.-луж. deґ«cґ, н.-луж. de(j)«cґ.