Поговорить - to talk (about smth in a form of monologue or to have a conversation with somebody)

Разговорить - to get someone to talk (who initially doesn`t want due to boredom\ secrecy \ shyness etc)


Can often be found in detective novels.
An excerpt from one article about Reymond Chandler`s charecter:

Марлоу обладает, конечно, некоторыми особыми качествами — и в первую очередь умением расположить к себе людей, разговорить их, дабы выудить необходимую информацию.
(http://hardboiled.ru/heroes/philip-marlowe/)

n.b. "РАЗ" is a russian prefix which normally refers to verbs like "starting action, beginning of the process": разболтать, раздербанить, раздолбать, разделаться...