долгу Предложный падеж. Местный или locative would be в долге.

Разделительный падеж - это тот же самый партитив (partitive, used to show that it's only a part of something whole) В современном русском языке практически уже не используются, кроме как в подобных примерах:

ложка сахару instead of ложка сахара
чашка чаю - instead of чашка чая

Note: no mitsakes in all 4 examples, which one to use is up to the speaker.

Ну и по вполне понятным причинам, партитив в русском языке иногда называют вторым родительным падежом (тот же падежный вопрос)