Глаголы приближения и соединения используются с предлогом к: приближаться к городу, подойти к двери, присоединить к левой части, приклеить к стеклу, прибить к стене и т. п.
Глаголы погружения и проникновения используются с предлогом в: войти в город, проникнуть в жилище, углубиться в тайные искусства, погрузиться в пучину мыслей, вставить в отверстие, впасть в ярость и т. п.

Если цель нашего пути -- "погружение", проникновение внутрь, то можно говорить "по дороге в".
Во всех остальных случаях -- "по дороге к". Однако "по дороге к" можно говорить и в первом случае, ведь чтобы "войти в", сначала нужно "подойти к".