The guy who says ‘Фактически смысл этого выражения: «Я сам извиняю себя за причинённое вам зло»’ is not quite right.
Извиняться is not «извинять себя», like кусаться is not «кусать себя». Actually, it means the same as «просить прощения», ‘apologize’.
The verb извиняться is used frequently, and it is totally normal. Nobody protests against phrases like он извинился (= он попросил прощения), извинись (= попроси прощения) etc. Only извиняюсь is out of favor for some reason.
I suppose that there is no true reason to consider извиняюсь wrong. Most likely, ‘извиняюсь is wrong’ is a widely spread myth created by some people like the author of the quotation above, who use some bad argumentation to prove it.
In any case, you have to deal with the ‘извиняюсь is wrong’ idea since it’s really popular.