Well let me correct your text first
Generally, your Russian is very good.

Quote Originally Posted by Yuki View Post
Максим пригласил близких друзей домой. Они сейчас разговаривают в гостиной.
Максим чувствует, что друзьям очень душно, и они явно хотят открыть окна.


1. I think "Максим видит, что..." in this context would be better.
2. "Друзьям очень душно" - it is an impersonal sentence. "Друзьям" is not the subject here, it just has no grammatical subject. Therefore, the second part of the clause (явно хотят открыть окна) is not clear without "они". You need "они" because it helps to link the subject to "друзьям" and "друзьям" is not in the Nominative (is not a subject itself).
3. I do not like "явно" in this context. I cannot explain why. Maybe other Russians will disagree. But I would better say "и они наверняка хотят открыть окна".

Так явно, что даже если Максим скажет только «Пожалуйста!», они поймут, что это - разрешение на открытие окон.
Grammatically, no mistakes! But:
1. Again, I do not like "явно".
2. "... даже если Маским только скажет ..." is better than "... даже если Маским скажет только ..."
3. "... разрешение на открытие окон" is too much official. You should have written "... разрешение открыть окна".

В этой ситуации Максим говорит: «Пожалуйста, вы можете открывать окна».
I corrected the punctuation. No other mistakes.

В этой речи используется глагол несовершенного вида «открывать» вместо глагола совершенного вида «открыть».

Правильно ли это использование глагола «открывать»?
"В этой речи" is not good. "В этой фразе" or "в этом предложении". If you want to stick to "речь", you can say: "Максим в своей речи использует ..."
but not "в этой речи".

Well, I see what you mean. It is a very subtle question you are asking
I would answer this way:
In the given context (as you described), both "открывать" and "открыть" are possible. However, "открывать" better expresses the long expectation. "Открыть" does not convey this nuance, it is a simple statement of permission to do something.