Each of these sentences can be translated in different ways depending on context. Here is some (not all) of them:
1. Давайте я покажу вам мой дом. / Давай я покажу тебе мой дом.
2. Поставьте/ поставь пирог в печь.
3. Поставьте/ поставь торт печься на 10 минут.
4. Пусть он сходит в кино.
5. Давайте/давай я объясню. / Дай мне объяснить.
6. Знаешь, что вчера произошло? Дай-ка догадаюсь.
7. Позвольте мне показать вам улицу. / Давайте я покажу вам улицу.
8. Позвольте мне показать вам улицу. / Давайте я покажу вам улицу.
Roughly speaking, пусть = let him/her/it/them, давай/давайте/дай = let me/us. These words express the idea of "letting something" in general way. In different situations, other words may be preferable, such as "позвольте", "разрешите".