Care may mean "careful attention to avoid damage" осторожность

or "worry", and then it is a different word in Russian - беспокойство

So, if he did not worry about finishing his work (as opposed to him breaking something while finishing it), the literal translation would be

"Он не проявлял большого беспокойства о том, чтобы закончить свою работу."

Or better "Он не сильно беспокоился о том, чтобы закончить свою работу."