Подняться/подниматься is your chose when someone or something is moving up:

Я поднялся по лестнице.
Я поднялся на лифте.
Я поднялся на вершину холма.
Лифт поднялся на третий этаж.
Поднимайся с кровати! (Вставай is also OK here.)


Взобраться/взбираться is normally used when a person is climbing up using his/her hands and feet.



Я взобрался по приставной лестнице на крышу.
Я с трудом взобрался по склону оврага.


Взойти/восходить is OK only for rising of the Sun, Moon, stars etc. Other meanings are typically too bookish, archaic or poetic.