1. Alcohol destroys liver. - Алкоголь разрушает печень.
2. European Union policies destroyed the economies of Northern Europe. - Политика Евросоюза навредила экономике стран северной Европы.
3. The car was fully destroyed in the car accident. - Here I would say: Автомобиль был сильно повреждён в результате аварии. (Severely damaged). "Разрушен" does not sound right to me.
4. The rebel forces were destroyed in battle. - Силы повстанцев были уничтожены в бою. (If all the rebels were killed). or: Силы повстанцев были разгромлены в бою. (If they were fully defeated).
5. The new medicine destroyed the spreading virus. - Here I would say: Новое лекарство победило распространяющийся вирус. (It won the spreading virus). or: Новое лекарство остановило распространение вируса. (It stopped the virus spreading).
6. The leather strap of the watch can be destroyed by the exposition in hot water. - Кожаный ремешок часов может быть повреждён в горячей воде.
7. The manuscripts were destroyed when they were exposed to air. - Рукописи были повреждены на открытом воздухе.
8. Greediness destroy happiness. - Жадность разрушает счастье. or Жадность вредит счастью.
9. Smoking destroys health. - Курение вредит здоровью.
10. He had destroyed his back by professional weight-lifting (possible in Greek). - Он повредил спину в результате поднятия тяжестей (Он повредил спину, занимаясь тяжёлой атлетикой).
11. The financial crisis destroyed small and middle businesses. - Финансовый кризис уничтожил малый и средний бизнес. (Completely! They are all bankrupts!) Финансовый кризис навредил малому и среднему бизнесу.

Some conclusions:

уничтожать (impf.) / уничтожить (pf.) - to destroy completely, to exterminate. Something which is "уничтожено" does not exist any longer;
разрушать (impf.) / разрушить (pf.) - to destroy such a way that the object gets disintegrated. To demolish. Something which is "разрушено" is considered to continue existing, but not as a single whole;
повреждать (impf.) / повредить (pf.) - to damage. Something which is "повреждено" still exists as a single whole, but with some damages. This verb is transitive: "повредить спину; повредить механизм".
вредить (impf.) / навредить (pf.) - to harm. This verb is intransitive, it requires dative, and it is mostly used in more abstract sense (not a physical damage): "вредить отношениям; вредить репутации; вредить соседям".

But I understand, sometimes it is hard to decide which word to use for non-native speakers.