Всё дело в том, что есть такая штука, как аффрикатизация взрывных согласных.
В русском языке небольшая аффрикатизация является нормой в произношении мягких Т и Д. Так, если представить это в более точной IPA-транскрипции, то сочетание ТИ по факту нами произносится как [tjsji], ДИ - соответственно как [djzji]. Сразу извиняюсь, если у кого-то эта "абракадабра" из верхних индексов будет отображаться некорректно. Но в верхних индексах - как раз вся соль. Это не чистой воды аффрикаты, но аффрикатизированные взрывные. Отличие от чистых аффрикат лишь в том, что щелевые концовки ("сь"-образная концовка у звука "ть" и "зь"-образная концовка у звука "дь") выражены менее чётко. Это скорее своего рода "глайды", если можно применить этот термин к согласным.

Кто-то из русскоговорящих этот факт знает, а кто-то, возможно, будет удивлён. Как не раз здесь отмечалось, носители языка слышат звуки через своеобразный "фильтр", да и графический образ сильно влияет на восприятие того, как мы слышим звуки. Неносители же не обладают этим "фильтром" и воспринимают нюансы, которых не замечаем мы. Вполне естественно, что в слове "теперь" они могут услышать этот "сь"-образный глайд. А так как различие между "ц" и мягким "ть" состоит в палатализации, а иностранцы как раз её-то обычно и не слышат, то они могут идентифицировать наш мягкий "ть" как "ц".

Отсюда вывод: методологически иностранцу лучше давать примеры для тренировки в различении звуков "ть" и "ц", не заостряя внимания на теоретических нюансах. Например, "тел - цел", "нить - ниц", "типа - цыпа" и прочее в таком роде.

Теперь о соотношении звуков "ть" и "ц". Многие здесь писали, то мягкого "ц" ни разу не слышали. Здесь работают оба фактора: 1) слуховой "фильтр", который отсеивает "сь"-образный глайд у носителей языка, 2) графический образ, который заставляет идентифицировать мягкий "ть" с буквой Т, а отсюда, и со звуком [t].
Да, звук, изображаемый буквой Ц - это твёрдая аффриката, и эта буква всегда произносится твёрдо. Никто не утверждает, что говорящие на русском могут произносить звук, изображаемый этой буквой, мягко. Они действительно эту букву читают только твёрдо.
Отсюда - кажущееся "неумение" произнести мягкий Ц.
На деле же, мы то и дело произносим этот самый мягкий Ц. Но только идентифицируем его как мягкий Т. Да, я оговорился, что там не совсем аффриката, а лишь глайд. Для того, чтобы получить реальный мягкий Ц, нужно лишь усилить этот "сь"-образный призвук, сделав его более выраженным. Но на наш слух это всё равно будет ТЬ. А услышав ТЬ, русский подумает "это же не мягкий Ц, это всего лишь мягкий Т". Этот трюк проделывает с нами наше подсознание носителя языка.

В белорусском глайд выражен сильнее, но главное - там в орфографии используются буквы именно для аффрикат: ЦЯНУ, ДЗЕНЬ. На русский слух же они всё равно звучат практически как "ТЯНУ, ДЕНЬ".

Явление аффрикатизации случается и в других языках, и при других условиях.
В английском апикальный альвеолярный [t] сопровождается ещё и заметным придыханием: tape [theip]. Русские же (особенно новички) вопринимают придыхание у переднеязычных как аффрикатизацию. Потому начинающие в английском нередко слышат (и даже произносят!) [t] как Ч. "Олчугеза" - ничего не напоминает?
А в датском придыхание звука [t] - так вообще выражено через аффрикатизацию: [ts]. Пруфлинк Danish language - Wikipedia, the free encyclopedia

В японском аффрикатизация всегда сопровождает произношение палатализованных [t] и [d], но там она имеет скорее "шипящий", нежели "свистящий" оттенок (как в русском). Это отразилось и в традиционной английской транскрипции: CHI (русская транслитерация - ТИ) и JI (русская транслитерация - ДЗИ).